Al modificar los valores de x en la gráfica, la escena muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Como has podido notar, la gráfica es simétrica con respecto al eje y, puesto que para todo valor x del dominio de la función se verifica que f(x)=f(-x).

Funciones impares

Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los valores de f(x) y de f(-x).

Al ir modificando los valores de x la gráfica muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás notado además que el segmento que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre por el origen, punto del cual equidistan.

Todas estas funciones simétricas con respecto al origen de coordenadas, en las que se verifica que f(x)=-f(x), se denominan funciones impares.

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.

Ejemplos 1:

La función y(x)=x es impar ya que:

f(-x) = -x

pero como f(x) = x entonces:

f(-x) = - f(x).

Ejemplo 2:

Otra función impar es y = 1/x

Cuando f(x) = -f(-x)

Ejemplo 3:

La función f(x)=x² es par ya que f(-x) = (-x)² =x²

Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es estrictamente creciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} > 0 </pre> $

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

$x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)$

Una función $f$ es estrictamente creciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ si existe algun número positivo $h$ tal que $\mathrm{f} $ es estrictamente creciente en el intervalo $\left( <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> \right)$ .

De esta esta definición se deduce que si $\mathrm{f}$ es derivable en $x \, = \, a$ y $f$ es estrictamente creciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ , entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \ge 0$ .

Función creciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es creciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} \ge 0 </pre> $

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es estrictamente decreciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} < 0 </pre> $

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

$x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)$

Una función $f$ es estrictamente decreciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ si existe algun número positivo $h$ tal que $\mathrm{f} $ es estrictamente decreciente en el intervalo $\left( <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> \right)$ .

De esta esta definición se deduce que si $\mathrm{f}$ es derivable en $x \, = \, a$ y $f$ es estrictamente decreciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ , entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0$ .

Función decreciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es decreciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} \le 0 </pre> $

Función constante

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:

$f(x) = a \,$

donde a es la constante.

Funciones reales de una variable real

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

$y = f(x) \,$